O Teorema da Impossibilidade de Arrow, também chamado Paradoxo de Arrow e, com pouca precisão, Teorema da Impossibilidade da democracia, demonstra que não é possível desenhar regras para a tomada de decisões sociais ou políticas que obedeçam a um certo conjunto de critérios "razoáveis".

Foi enunciado e demonstrado pela primeira vez pelo Prémio Nobel de Economia Kenneth Arrow, como parte da sua tese de doutoramento Social choice and individual values, e popularizado no seu livro do mesmo nome editado em 1951. O artigo original, A Difficulty in the Concept of Social Welfare, foi publicado no The Journal of Political Economy, Vol. 58(4), pp. 328-346, em Agosto de 1950.

Enunciado simplificado do Teorema

O Teorema da Impossibilidade de Arrow estabelece que uma sociedade necessita de concordar com uma ordem de preferência entre diferentes opções. Cada indivíduo na sociedade tem a sua própria ordem de preferência pessoal. O problema é encontrar um mecanismo geral (uma função de selecção social) que transforme o conjunto das ordens de preferência individuais numa ordem de preferência para toda a sociedade que deve satisfazer várias propriedades desejáveis:

• domínio não restringido ou universalidade : a função da selecção social deveria criar uma ordem completa por cada possível conjunto de ordens de preferência individuais (o resultado do voto deveria poder ordenar entre si todas as preferências e o mecanismo de votação deveria poder processar todos os conjuntos possíveis de preferências dos votantes)

• não-imposição ou soberania do cidadão : cada ordem de preferência da sociedade deve ser realizável por algum conjunto de ordens de preferência individuais. (Cada resultado deve ser realizável de forma alguma).

• ausência de ditadura : a função de selecção social não deveria limitar-se a seguir a ordem de preferência de um único indivíduo ignorando os demais.

• associação positiva dos valores individuais e sociais ou monotonia : se um indivíduo modifica a sua ordem de preferência ao promover uma certa opção, a ordem de preferência da sociedade deve responder promovendo essa mesma opção ou, no mais alto grau, sem trocá-la, mas nunca degradando-a. (Um indivíduo não deveria prejudicar um candidato ao promovê-lo).

• independência das alternativas irrelevantes : se restringimos a nossa atenção a um subconjunto de opções e lhes aplicamos a função de seleçcão social apenas a elas, então o resultado deveria ser compatível com o correspondente para o conjunto de total de opções. As mudanças na forma como um indivíduo ordena as alternativas "irrelevantes" (isto é, as que não pertencem ao subconjunto) não deveriam ter impacto no ordenamento que torne a sociedade do subconjunto "relevante".

O Teorema de Arrow diz que se o corpo que toma as decisões tem pelo menos duas integrantes e pelo menos três opções entre as que deve decidir, então é impossível desenhar uma função de selecção social que satisfaça simultaneamente todas estas condições.

Obtém-se outra versão do Teorema ao substituir o critério de monotonicidade com o critério de unanimidade:

• unanimidade ou eficiência de Pareto : se cada indivíduo prefere uma certa opção a outra, assim o deve fazer a ordem de preferência social resultante. Esta afirmação é mais forte, já que o assumir tanto a monoticidade como a independência das alternativas irrelevantes implica a eficiência de Pareto.

Interpretações do Teorema de Arrow

O Teorema de Arrow costuma expressar-se em linguagem não matemática com a frase "Nenhum sistema de voto é justo". No entanto, esta frase é incorrecta ou, no melhor dos casos, imprecisa, já que faria falta clarificar o que se entende por um mecanismo de voto justo. Mesmo que o próprio Arrow empregue o termo "justo" para referir-se aos seus critérios, não é em absoluto evidente que assim seja.

O critério mais discutido é o de independência das alternativas irrelevantes já que parece excessivamente "forte". E assim, com mais uma definição restrita de "alternativas irrelevantes" que exclua aqueles candidatos do conjunto de Smith, alguns métodos de Condorcet satisfazem todos os critérios.

Em qualquer caso, o Teorema de Arrow é um resultado significativo e com profundas implicações no campo da Teoria da decisão.

Tradução JURIS de Wikipedia