Nem todos os teoremas matemáticos são sisudos e incompreensíveis. Há muitos fenómenos simples que também têm a sua explicação.

O Teorema dos Macacos Infinitos é um enunciado muito conhecido, que assegura que

Um macaco batendo numa máquina de escrever por um tempo infinito poderia escrever um texto dado, como as obras completas de Shakespeare.

Este teorema utiliza-se para ilustrar o difícil que é tentar abranger o conceito de infinito. O teorema é certo. Num tempo suficientemente grande o macaco acabaria por escrever as obras completas de Shakespeare e as de Camões também, se fosse preciso, mas a probabilidade de isso suceder num intervalo de tempo tão grande como a idade do Universo é praticamente nula. "Tempo infinito" não é "muito tempo", é simplesmente… infinito.

Outra variante do teorema afirma que os macacos poderiam escrever qualquer texto dado em qualquer intervalo de tempo (não necessariamente infinito). A analogia é a mesma. "Macacos infinitos" não quer dizer um milhão de macacos, nem biliões, quer dizer simplesmente… infinitos.

Os "macacos" na verdade são uma metáfora de qualquer dispositivo capaz de gerar texto aleatoriamente.

O teorema pode generalizar-se, no sentido que qualquer experiência aleatória poderá produzir um determinado resultado sempre que a experiência se realize tantas vezes quantas as necessárias.

Por exemplo, é possível (mesmo que a probabilidade seja praticamente nula), que ao lançar uma moeda ao ar ela caia mil vezes seguidas de caras.

Só é preciso atirar a moeda um suficiente número de vezes. De facto, se lançássemos a moeda vezes infinitas, obteríamos sequências de um milhão de caras seguidas, de um trilião ou de todas as que queiramos.

Demonstração

Suponhamos que cada tecla em que carregamos é um evento aleatório, estatisticamente independente do anterior (no caso de um macaco a bater num teclado, não seria necessariamente já que é mais provável que ao bater numa tecla ele carregue em várias que lhe estão próximas, mas isto é complicar inutilmente o objectivo do teorema).

Se dois eventos são independentes, a probabilidade que ocorram ambos ao mesmo tempo é o produto de ambas as probabilidades (por exemplo, se duas jogadas de moeda são independentes, a possibilidade de sair caras nas duas é 0,5 * 0,5 = 0,25).

Supondo que usamos um teclado com o alfabeto português, sem acentos, números e evitando os sinais de pontuação, temos 27 letras, podendo assumir que a probabilidade de se carregar em cada uma delas é 1/27.

A probabilidade de escrever uma determinada palavra de n letras será (1/27)*(1/27)*...*(1/27) = ¹/_27ⁿ. Por exemplo, aplicando esta fórmula, a probabilidade de escrever ao acaso a palavra "gato" ao bater quatro vezes no teclado seria de uma em meio milhão.

Seguindo o raciocínio, a probabilidade de não escrever uma determinada palavra de n letras numa sequência de n batidas é de 1 – ¹/_27ⁿ. Para o seguinte bloco de n letras, exactamente igual, e assim sucessivamente.

Supondo que cada bloco é independente, a probabilidade de não escrever uma determinada palavra de n letras em k blocos seguidos, é (1 –  ¹/_27ⁿ)^k.

Se o tamanho do bloco n é definido (tão grande como queiramos, mas finito), sendo k a quantidade de vezes que repetimos a experiência, podemos ver que o limite, quando k tende para infinito, é zero.

Isto é, a probabilidade de não escrevermos qualquer sucessão de letras (por exemplo, as obras completas de Shakespeare) tende para zero se realizarmos experiências infinitas. Ou visto de outro modo, a probabilidade de escrevermos qualquer texto dado tende para 100%.

No entanto, o conceito de "experiências infinitas", como já se disse, não significa "muitíssimas experiências".

Tentemos ver isto com números. Suponhamos que temos tantos macacos como partículas existem no Universo (aproximadamente 10⁸⁰) e que cada um deles é capaz de bater 1000 teclas por segundo, durante um tempo 100 vezes superior à idade do Universo.

Pois ainda assim, a probabilidade de poderem vir a reproduzir qualquer livro já existente é praticamente nula.

Quando "macacos infinitos" significa muitíssimos mais macacos que todas as partículas existentes no Universo e "tempo infinito" significa muitíssimo mais tempo que cem vezes a idade do Universo, o conceito de "infinito" deixa de fazer sentido prático, para ser uma mera ferramenta teórica. Mesmo que intuitivamente associemos "infinito" com "muito grande", vemos neste caso que isto nem sempre funciona.

As experiências realizadas com simuladores informáticos demonstraram completamente este facto e até "teclando" a uma velocidade milhares de vezes mais rápida do que o faria um macaco real, só muito raramente se obtêm mais de duas palavras seguidas com sentido.

Numa outra experiência, deixou-se um teclado numa jaula com macacos e depois de se dedicarem a muitas macaquices ficou claro que não se trata de bons exemplos de geradores aleatórios.